ضرب و شتم بازار؟یک معمای ریاضی برای کارآیی بازار

فرضیه کارآمد بازار در ادبیات اقتصادی بسیار مورد بحث قرار گرفته است. در قویترین شکل خود ، بیان می کند که هیچ روند قیمت وجود ندارد. هنگام تضعیف فرض غیر ارسالی به روندهای کوتاه ، کوچک و کاملاً ناشناخته دلخواه ، ما از نظر ریاضی برای یک کلاس خاص از استراتژی های معاملاتی مبتنی بر کنترل دستاوردهای مورد انتظار را اثبات می کنیم. این استراتژی ها بدون مدل هستند ، یعنی یک معامله گر نباید در مورد الگوهای قابل پیش بینی فکر کند و نه مجبور است پارامترهای بازار مانند علامت روند مانند معامله گران حرکت را تخمین بزند. این بدان معناست که ، از آنجا که معامله گر نیازی به دانستن هیچ روندی ندارد ، حتی روندهایی که برای پیدا کردن آن بسیار کوچک است برای ضرب و شتم بازار کافی است. تعدیل ریسک و مقایسه با استراتژی های خرید و نگهدارنده ، مشکل را به طور رضایت بخش حل نمی کند. با جزئیات ، ما نتایج حاصل از ادبیات مربوط به استراتژی های تجاری مبتنی بر کنترل را به تنظیمات بازار بدون فرضیات مدل خاص ، اما با پارامترهای متغیر زمان در زمان گسسته و مداوم تعمیم می دهیم. ما فرمول های بسته ای را برای سود مورد انتظار و همچنین واریانس GAIN ارائه می دهیم و قوانین معاملات مبتنی بر کنترل را به تنظیم عمومی می دهیم که اطلاعات قدیمی تر کمتر باشد. علاوه بر این ، ما یک مطالعه پشتی نمونه ای را انجام می دهیم که هزینه های معامله را در نظر می گیرد و پیشنهادات پیشنهادی را در نظر می گیرد و هنوز هم دستاوردهای مثبت را مشاهده می کنیم.

روی نسخه خطی کار می کنید؟

از رایج ترین اشتباهات خودداری کنید و نسخه خطی خود را برای ویراستاران ژورنال آماده کنید.

معرفی

در دهه 1970 ، به اصطلاح فرضیه بهره وری بازار بسیار پذیرفته شد (Fama 1965 ، 1970). بعداً مورد انتقاد قرار گرفت ، اما نیز از آن دفاع شد (مالكیل 1989 ، 2005). بخش عمده ای از انتقادات مربوط به الگوهای به اصطلاح قابل پیش بینی است. همچنین ، مسئله فرضیه های مشترک باید در نظر گرفته شود ، که بیان می کند که معمولاً کارآیی بازار و یک مدل بازار باید به طور همزمان آزمایش شود (جارو و لارسون 2012). علاوه بر این ، ناکارآمدی آماری و ناکارآمدی اقتصادی باید متمایز شود. هنگامی که از متغیرهای خارجی برای ساختن یک استراتژی با بازده بیش از حد استفاده می شود ، ممکن است در این مورد باشد که این متغیرها فقط نسبت های مناسب برای خطر هستند. هنگام معرفی بازده های تنظیم شده ریسک ، بازده اضافی در هنگام دستیابی به ریسک بیش از حد ، هیچ تناقضی ندارد.

در این کار ، ما برخی از نتایج را به فرضیه کارآیی بازار ارائه می دهیم که نیازی به مقابله با مشکل فرضیه مشترک ندارند زیرا هیچ مدل بازار خاصی فرض نمی شود. استراتژی های تحت تجزیه و تحلیل نه از الگوهای قابل پیش بینی و نه متغیرهای خارجی استفاده می کنند ، یعنی دفاع های معمولی فرضیه کارایی بازار اعمال نمی شود. با استفاده از اثبات دقیق ریاضی ، ما نشان می دهیم که این استراتژی با کارآیی آماری بازار مغایرت دارد. یک پشتی با داده های بازار گذشته نیز شواهد محکمی نشان می دهد که با بهره وری اقتصادی مغایرت دارد. تعدیل ریسک و مقایسه با سایر استراتژی ها ، معما را به طور رضایت بخش حل نمی کند که چرا می توان در هنگام فرض نرخ رشد مستقل از نظر تصادفی ، یک استراتژی ضرب و شتم بازار ایجاد کرد. کار مورد نظر از نظر فنی مبتنی بر تعمیم Baumann و Grüne (2017) است. تفاوت اساسی در این کار در این است که ما یک روند متغیر زمان را مجاز می کنیم (بر خلاف یک روند ثابت). این تعمیم نه تنها نتایج جهانی را جهانی تر می کند ، بلکه این نکته را تشکیل می دهد که با فرضیه کارآمد بازار مغایرت دارد. فرض استفاده شده توسط Baumann و Grüne (2017) مبنی بر اینکه دارایی هایی با روند غیرقانونی ثابت (در مقایسه با numériere) وجود دارد ، غیر واقعی است. در این کار ، ما فقط یک روند را فرض می کنیم که گاهی اوقات غیر Zero است - و فرقی نمی کند که این روند مثبت باشد یا منفی. علاوه بر این ، ما یک فرمول فرم بسته برای واریانس Gain ارائه می دهیم و تکنیکی را برای تخفیف اطلاعات قیمت قدیمی تر معرفی می کنیم.

بخش عمده ای از بحث در مورد کارآیی بازار ، تجارت فنی و ضرب و شتم بازار این ایده را دنبال می کند که یک معامله گر (i) مجبور به یافتن الگوی قابل پیش بینی است ، (ii) برای بهره برداری از این الگوی باید یک استراتژی معاملاتی ایجاد کند ، و (iii)برای آزمایش این استراتژی جدید در برابر استراتژی های خرید و نگهدارنده گسترده به طور تصادفی انتخاب شده (Malkiel 1973). با این حال ، رشته جدیدی از تحقیقات - که عمدتاً در علوم مهندسی و ریاضیات - به روش دیگری پیش می رود. از نظر نویسندگان مربوطه ، می توان وظیفه (i) را رد کرد و اجازه می دهد تا استراتژی های معاملاتی مستقیماً ساخته شود. این استراتژی ها معمولاً بدون مدل هستند و نه از پیش بینی الگوهای و تخمین پارامترها استفاده نمی کنند. به طور خلاصه و با استفاده از اصطلاحات جامعه کنترل: آنها ساخته شده اند که در برابر قیمت قوی باشند. به جای کار (iii) ، که به داده های بازار واقعی متکی است ، (عملکرد) خصوصیات ریاضی اثبات می شود. به این ترتیب ، از مشکل بیش از حد (رجوع به بیلی و همکاران 2014) جلوگیری می شود. نتایج این کار به تأثیر حرکت متکی نیست زیرا از دو طریق عمومی تر هستند: اولا ، نتایج اصلی مربوط به استراتژی های تجاری مبتنی بر کنترل از نظر ریاضی اثبات می شود در حالی که برای عملکرد استراتژی های حرکت شواهد تجربی وجود دارد. ثانیا ، قوانین معاملات مبتنی بر کنترل می توانند به راحتی با یک روند تغییر علامت برخورد کنند.

این مقاله به شرح زیر سازماندهی شده است: در بخش. 2 ، ما به طور خلاصه در مورد ادبیات در بازارهای کارآمد بحث می کنیم. در فرقه3 ، راه اندازی بازار و همچنین استراتژی های معاملاتی توضیح داده شده و ادبیات مربوطه مورد بحث قرار می گیرد. در فرقه4 ، نتایج جدید در مورد قوانین تجاری مبتنی بر کنترل ویژه ، به اصطلاح استراتژی های کوتاه کوتاه (SLS) همزمان ، در یک مدل بازار کلی با روندها و نوسانات متغیر زمان به دست می آید (با جزئیات ، فرمول های بسته برای افزایش مورد انتظارو واریانس سود). علاوه بر این ، ریسک و همچنین مقایسه با استراتژی های خرید و نگهدارنده بحث شده است. حساب کردن هزینه های معاملاتی و گسترش پیشنهادات-که در بخش تحلیلی کار مورد نظر در نظر گرفته نمی شود. 5 ارائه شده است ، که در آن ما با استفاده از پیشنهادات و قیمت ها ، داده های بازار گذشته را انجام می دهیم. پس از آن ، در فرقه. 6 ، قانون SLS استاندارد به قانون به اصطلاح تخفیف SLS تعمیم یافته است ، که در آن داده های قدیمی تأثیر کمتری در استراتژی دارند. سرانجام ، در فرقه. 7 ، ما در مورد نتایج - به ویژه با توجه به فرضیه کارآمد بازار - بحث می کنیم و مقاله را نتیجه می گیریم.

بررسی کارآیی بازار

در این بخش ، ما به طور خلاصه در مورد کارآیی بازار ، انتقاد آن و دفاع از آن بحث می کنیم (ر. ک. FAMA 1991 ؛ Malkiel 2003). علاوه بر این ، ما در مورد برخی مباحث بحث می کنیم که تعاریف مشخص نیست ، با تمرکز بر تجزیه و تحلیل استراتژی SLS.

در نسخه قوی خود ، بهره وری بازار اظهار داشت که یا تقریباً تمام اطلاعات مربوط به دارایی در قیمت منعکس شده است. در حالت اول ، هیچ معامله گر پیشرفته و حتی هیچ خودی به طور متوسط بهتر از یک معامله گر خرید و نگهدارنده ساده عمل نمی کند. فرآیندهای قیمت پیاده روی تصادفی در اطراف ارزش های اساسی آنها هستند. هنگامی که فقط تقریباً تمام اطلاعات در قیمت گنجانیده شده است ، هزینه های دریافت اطلاعات مفقود شده و تجارت دارایی بالاتر از سود احتمالی بهره برداری از این اطلاعات است (FAMA 1991). نسخه نیمه قوی فرضیه کارآیی بازار بیان می کند که تمام اطلاعات عمومی در قیمت منعکس می شود (Stickel 1985 ؛ Fama 1991) ، یعنی اصول و بازده های گذشته بلافاصله گنجانیده شده است. بنابراین ، فقط اطلاعات خصوصی می تواند منجر به سود بیش از حد شود. کلمه "بلافاصله" باید به معنای متوسط درک شود ، یعنی بازارها ممکن است بیش از حد به اطلاعات جدید واکنش نشان داده یا تحت تأثیر قرار نگیرد ، و بازارها ممکن است اطلاعات را خیلی زود یا خیلی دیر منعکس کنند ، اما به طور متوسط تمام این اثرات تعادل برقرار می کنند (Fama 1995). آخر ، نسخه ضعیف بهره وری بازار بیان می کند که تجارت خودی و همچنین یک تحلیل اساسی ممکن است سودآور باشد ، اما تجزیه و تحلیل فنی بازده گذشته نیست. یا کمی ضعیف تر ، وقتی وابستگی به بازده های گذشته و آینده وجود دارد ، این ناهنجاری ها برای بهره برداری بسیار کوچک هستند. از نظر ریاضی بیان شده ، شکل ضعیف فرضیه کارایی بازار بیان می کند که نرخ رشد از نظر تصادفی مستقل یا حداقل با هم مرتبط است.

این کار یک استراتژی معاملاتی فنی را در تضاد با شکل ضعیف فرضیه بازارهای کارآمد ارائه می دهد ، که دلالت بر تضاد با همه اشکال دارد. از این رو ، ما فرض می کنیم که نرخ رشد از نظر تصادفی مستقل است ، ر. ک. فرقه ها3. 4 و 4.

یک رشته از انتقادات به فرضیه کارایی بازار بر الگوهای قابل پیش بینی تکیه دارد. با روش های آماری یا علم داده، چنین الگوهایی یافت شد (کراس 1973؛ فرنچ 1980؛ آریل 1987، 1990؛ کیم 1983؛ رول 1983). با این حال، Malkiel (2003) بیان می کند که الگوهای قابل پیش بینی پس از انتشار خود تخریب می شوند. بعلاوه، اثرات الگوهای (قابل پیش بینی) ممکن است بسیار کوچک باشد که بتوان از آنها بهره برداری کرد (لاکونیشوک و اسمیت 1988)، به ویژه هنگامی که هزینه های معاملاتی در نظر گرفته می شود. به طور کلی، صرفاً به دلیل وجود ناکارآمدی آماری، ممکن است یک معامله گر نتواند از آن سود ببرد، بنابراین ممکن است باعث ناکارآمدی اقتصادی نشود. رشته دیگری از انتقاد بر پیش بینی قیمت سهام از طریق متغیرهای خارجی تکیه دارد (Rozeff 1984؛ Shiller 1984; Campbell and Shiller 1988; Banz 1981). اما، همانطور که توسط فاما (1991) خلاصه شده است، این وابستگی ها یا خیلی کوچک هستند که قابل بهره برداری نیستند یا دلیل دیگری دارند: این متغیرها پراکسی برای ریسک هستند. در ادبیات، می توان جملاتی مانند "معامله گران نمی توانند انتظار بازدهی مازاد داشته باشند" اما "معامله گران تنها زمانی می توانند انتظار بازده اضافی داشته باشند که ریسک مازاد را بپذیرند."با این حال، چگونگی اندازه گیری ریسک مشخص نیست.

ما توجه می کنیم که از جنبه تجربی نیز انتقاداتی از فرضیه بازار کارآمد وجود دارد (Covel 2004؛ Avramov et al. 2018). با این حال، ما متذکر می شویم که شواهد تجربی در مورد (نا)بازدهی بازار ممکن است مورد انتقاد قرار گیرد، زیرا همه نتایج تجربی می توانند نتیجه لایروبی داده ها (هک p) باشند، به عنوان مثال، جستجو برای مقادیر p قابل توجه بدون علیت. روندهای بلندمدت در قیمت دارایی ها که بدون هک p یافت می شود ممکن است قابل بهره برداری نباشد (به گرنجر و مورگنسترن 1962؛ سعد و همکاران 1998 مراجعه کنید). مسئله فرضیه های مشترک بیان می کند که کارایی بازار (تقریباً) همیشه فقط در صورت استفاده همزمان از یک مدل بازار قابل آزمایش است. از آنجایی که مسئله فرضیه های مشترک یک استدلال بسیار قوی است، ما از هیچ مدل بازار یا حداقل از مدلی تا حد امکان عمومی استفاده نخواهیم کرد (به جلد 1991 مراجعه کنید). مطالعات رویداد (فاما و همکاران 1969) و آزمون‌های کارایی بازار (جارو و لارسون 2012) که بر مشکل فرضیه‌های مشترک (یا مدل بد) غلبه می‌کنند، با داده‌های تجربی کار می‌کنند و بنابراین، ممکن است مشکل هک p را داشته باشند.

همانطور که توسط Carhart (1997) مورد بحث قرار گرفته است ، تأثیر حرکت ، با تکیه بر روشهای تجربی و آماری وجود دارد: دارایی هایی که طی چند ماه گذشته عملکرد خوبی دارند ، طی چند ماه آینده این کار را انجام می دهند ، و مشابه دارایی های بد (رجوع کنید به Carhart 1992 ؛ Jegadeeshand Titman 1993 ، 2001 ؛ Brown and Goetzmann 1995 ؛ التون و همکاران 1996 ، 2015 ؛ Goetzmann and Ibbotson 1994 ؛ Grinblatt and Titman 1992 ؛ Hendricks et al. 1993 ؛ Jensen 1969 ؛ Hermers 1996 ؛ Fama and Frengh 1996 ، 2008). Moskowitz (2010) توضیح می دهد که چرا معقول است که دارایی هایی با حرکت زیاد نیز دارای ریسک بالایی هستند. بنابراین ، هنگام در نظر گرفتن بازده های تنظیم شده ریسک ، ممکن است اثر حرکت از بین برود. بر خلاف این استراتژی های حرکت ، ویژگی های اصلی عملکرد استراتژی های مبتنی بر کنترل از نظر ریاضی نشان داده شده است. علاوه بر این ، و همچنین بر خلاف استراتژی های حرکت ، استراتژی های مبتنی بر کنترل می توانند با یک روند تغییر علامت برخورد کنند.

بیشتر انتقادات گذشته از فرضیه بازار کارآمد تجربی بود و بنابراین احتمالاً مشکل هک کردن P داشت. منتقدان نظری غالباً از یک مدل بازار خاص استفاده می کنند که منجر به مشکل فرضیه های مشترک می شود. برای غلبه بر مشکل فرضیه های مشترک ، مشکل هک کردن P و مشکل بیش از حد (بیلی و همکاران 2014)-I. E. ، مشکلی که استراتژی های فنی ممکن است از اطلاعات گذشته بیش از حد استفاده کنند تا قدرت برای پیش بینی آینده داشته باشند-در تحلیلیبخشی از کار مورد نظر ما برخی انتقادات کاملاً نظری از فرضیه بازار کارآمد را ارائه می دهیم ، که نه از داده های گذشته و نه مدل بازار استفاده می کند ، به جز برخی از نیازهای بسیار اساسی در بازار. فقط در پشتی نمونه ای در فرقه. 5 ، ما از داده های بازار گذشته استفاده می کنیم.

راه اندازی بازار و همزمان استراتژی های معاملاتی کوتاه کوتاه (SLS)

در ادبیات کنترل ، رشته ای از تحقیقات وجود دارد که به نظر می رسد برخلاف فرضیه کارآیی بازار است. در آنجا ، با استفاده از تکنیک های بازخورد که در علوم مهندسی و همچنین ریاضیات کاربردی مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است ، استراتژی های تجاری که در برابر قیمت های پر سر و صدا قوی هستند ، ایجاد می شود. در این بخش ، ما راه اندازی بازار را بیان می کنیم و قوانین تجاری مبتنی بر کنترل ، به ویژه قانون به اصطلاح همزمان کوتاه کوتاه (SLS) را معرفی می کنیم. علاوه بر این ، ما مهمترین نتایج ادبیات SLS را ارائه می دهیم و در مورد آثار مرتبط بحث می کنیم.

روش تفکر نظری کنترل با امور مالی کلاسیک متفاوت است: نه اصول محاسبه نمی شود و نه الگوهای قیمت برای برآورد بازده آینده جستجو نمی شوند زیرا استراتژی های مبتنی بر کنترل از چنین تخمین هایی استفاده نمی کنند. معامله گران با تکیه بر استراتژی های تجاری مبتنی بر کنترل ، معامله گران بازخورد نامیده می شوند. آنها سرمایه گذاری خود را ، یعنی موقعیت دارایی خالص آنها ، که یک متغیر ورودی برای سیستم (یعنی به بازار مالی یا در واقع به سبد معامله گر) است ، در هر مقطع زمانی ، به عنوان تابعی از متغیر خروجی سیستم ، محاسبه می کنند.، معمولاً سود. بنابراین ، راه ساخت قوانین تجاری مبتنی بر کنترل مربوط به نظریه سبد تصادفی است (Feholz 2002 ؛ Cuchiero et al. 2019 ؛ Pal and Wong 2016 ؛ Wong 2015 ؛ Karatzas و Ruf 2017) زیرا هر دو با اوراق بهادار تولید شده کار می کنند و سعی می کنندتا حد امکان بدون مدل باشد (به عنوان مثال ، به عنوان مثال ، سعی نکنید که نیازی به فرضیه پارامترهای مدل نداشته باشید).

تنظیم فنی و ساخت قوانین تجارت SLS

ما یک فضای احتمال فیلتر شده را در نظر می گیریم (( varomega ،<mathcal >,<mathbb >,<mathbb

>)) ، جایی که (<mathbb >=(<mathcal >_t) _>>) تصفیه ای است که "فرضیه های معمول" را برآورده می کند (به پروتئین 2005 ، I. 1 ، ص 3 مراجعه کنید) و شبکه زمان یا (() است.<mathcal >= \) در مورد زمان گسسته یا (<mathcal >=[0,T]) in the continuous time case with (T>0) (and (h>0 ) ، (n in<mathbb >) ، (t = nh )).

ما یک بازار دارایی را با اوراق قرضه بدون ریسک و یک دارایی خطرناک در نظر می گیریم. نیاز بیشتر در بازار و همچنین بحث و بحث و توجیهات مختصر از این الزامات در فرقه بیان شده است. 3. 4

ما فرآیند قیمت (تخفیف) P (t) دارایی خطرناک را به عنوان یک فرآیند تصادفی مثبت مدل می کنیم (<mathcal > Times varomega RightArrow<mathbb >^+) که باید یک semimartingale باشد ، یعنی ، esp. càdlàg ، در مورد زمان مداوم. هر استراتژی سرمایه گذاری از هر معامله گر ( ell ) ، (i^ ell:<mathcal > Times varomega RightArrow<mathbb >) ، باید یک فرآیند سازگار در زمان گسسته باشد (یعنی ، (i^ el (t_i) ) باید این کار را انجام دهد ((i^ ell (t _)) _) قابل پیش بینی است)یک فرآیند تصادفی با ارزش واقعی و قابل پیش بینی در زمان مداوم. این پیوند همیشه برای اطمینان از استراتژی برای تأمین مالی خود استفاده می شود. ما سود/از دست دادن/از دست دادن معامله گر ( ELL ) و روند افزایش/از دست دادن مربوطه را محاسبه می کنیم (G^ el:<mathcal > Times varomega RightArrow<mathbb >) از طريق:

برای (0) هنگامی که انتگرال ( frac) وجود دارد

) is locally bounded. Since p is assumed to be a positive semimartingale, i.e., esp. (p(t)>0 forall t in [0 ، t] ) ، توسط فرمول Itō به این نتیجه می رسد که (t mapsto int _0^t fracmathrmp( au )) is again a semimartingale (in fact, (p(t)>0 ) تقریباً برای همه (t در [0 ، t] ) کافی خواهد بود). در این حالت ، وجود انتگرال تصادفی (g^ ell (t) = int _0^t i^ el ( tau -) frac<mathrmp( au )>) از این واقعیت پیروی می کند که (i^ el ) به صورت محلی محدود است. به نوبه خود ، خواهیم دید که ما (i^ el ) را به عنوان (i^ el (t) = f (g^ el (t)) ) انتخاب می کنیم تا برخی از عملکردهای تعیین کننده f. بنابراین ، ما باید این سؤال را بپرسیم که آیا راه حل معادله دیفرانسیل تصادفی ( mathrmg^ ell (t) = f (g^ ell (t-)) frac<mathrmp(t)> leftrightarrow g^ ell (t) = g^ el (0) + int _0^t f (g^ ell ( tau -)) frac<mathrmp( au )>) for (tin [0,T]) exists. Since p is a strictly positive semimartingale, i.e., (p(t)>0 forall t in [0 ، t] ) ، با فرمول itō دنبال می شود که روند (t mapsto int _0^t frac<mathrmp( au )>) یک semimartingale است. از این رو ، یک راه حل از معادله دیفرانسیل تصادفی ذکر شده برای (g^ el ) وجود دارد اگر f به عنوان مثال ، Lipschitz مداوم (که از استراتژی های ساخته شده در این بخش راضی است) وجود داشته باشد (به پروتئین 2005 ، v. 3 ، مراجعه کنید. ص 255f ، قضیه 6). از این واقعیت نتیجه می گیرد که روند (t mapsto i^ el (t) = f (g^ el (t)) ) نیز وجود دارد.

توجه داشته باشید که در مورد زمان گسسته ، شاخص تغییر یافته است ، یعنی برای محاسبه (g (t_n) ) فرآیند سرمایه گذاری ((i^ ell (t_i) _i ) تا زمان استفاده می شود (t_ )و هر (i^ ell (t_i) ) ، (i = 0،1 ، ldots ، n-1 ) ، (<mathcal >_ ) -قابل اندازه گیری. انتگرال در مورد زمان مداوم یک ITō-intagral است و بنابراین ، سود دوباره یک semimartingale (càdlàg) است.

همانطور که در بالا ذکر شد ، یک معامله گر بازخورد ( ell ) (در این کار) در زمان سرمایه گذاری (i^ el (t) ) را به عنوان تابعی از سود خود معامله گر محاسبه می کند. t) ) و - بعضی ها این را ساده لوح می نامند - از هیچ چیز دیگری:

جایی که F یک عملکرد قطعی است (به گونه ای که همه انتگرال ها وجود دارند ؛ مانند عملکرد مداوم لیپشیتز). توجه داشته باشید که به طور کلی امکان عملکرد F وجود دارد که از اطلاعات بیشتری مانند کل فرآیند افزایش و کل فرآیند قیمت تا زمان t استفاده می کند. با این حال ، در حال حاضر ، F با استفاده از سود در زمان t کافی است - در فرقه. 6 ما از یک قانون بازخورد کلی تر استفاده می کنیم. با ساخت و ساز ، ((i (t_i)) _) در زمان گسسته اقتباس شده است ، یعنی ، ((i (t _) _) قابل پیش بینی است. با تعریف نسخه càglàd یک فرآیند (در زمان مداوم) ، انتگرال ( frac) یک فرآیند تصادفی قابل پیش بینی است. همانطور که در بالا مورد بحث قرار گرفت ، با فرمول ITō در نتیجه می گیرد که این انتگرال نیز به صورت محلی محدود است (به پروتئین 2005 مراجعه کنید).

اکنون این سؤال وجود دارد که چگونه عملکرد f را انتخاب کنید. یک احتمال برای F به اصطلاح قانون معاملات بازخورد طولانی خطی است:

where (I^L(0)>0) is the initial investment in the linear long rule and (K^L>0 ) پارامتر به اصطلاح بازخورد است. این بدان معناست که در این مثال f به عنوان عملکرد خطی (f (x) = i^l (0)+k^lx ) با ضرایب مثبت انتخاب می شود.

به منظور توضیح عملکرد کلی تجارت بازخورد ، ما اصل عملیاتی قانون طولانی خطی را از یک دیدگاه عملی در مقیاس زمانی توضیح می دهیم (<0,1,2,3,ldots >): در زمان (t = 0 ) ، معامله گر (i^l (0) ) سرمایه گذاری می کند ، یعنی معامله گر واحدهای سهام را خریداری می کند. در زمان (T_1 = 1 ) ، معامله گر قیمت P (1) را می داند و بنابراین ، افزایش (g^l (1) = frac cdot (p (1) -p (0)) ). این اطلاعات توسط معامله گر برای محاسبه سرمایه گذاری (i^l (1) = i^l (0)+k^lg^l (1) ) استفاده می شود ، یعنی معامله گر خریداری می کند یا می فروشد ( frac- frac ) واحدهای سهام. در زمان (t = 2،3 ، ldots ) ، معامله گر به همان روش پیش می رود. با انجام این کار ، معامله گر نه مجبور به تخمین چیزی است ، و نه باید اطلاعات آینده را بشناسد ، یعنی استراتژی غیر پیش بینی شده است. برای معامله گر ، این سؤال وجود دارد که چگونه می توان (i^l (0) ) و (k^l ) را انتخاب کرد: برای نتایج تحلیلی در این کار ، انتخاب (i^l (0)) به معنای کیفی اهمیتی ندارد. انتخاب (k^l ) بسیار جالب تر است.

In general, it is easy to see that the linear long feedback trader is a long trader in continuous time when the price process is continuous, too. This means that this trader type makes money when prices rise and loses money when prices fall. When (K^L>1 ) ، این استراتژی یک قانون پیروی از روند است ، یعنی معامله گر با افزایش قیمت و برعکس خریداری می کند. از آنجا که قانون تجارت مورد نظر در برابر تغییرات قیمت قوی است ، قانون طولانی خطی باید اصلاح شود. برای این کار ، قانون بازخورد کوتاه خطی ابتدا تعریف شده است:

The simultaneously long short (SLS) rule is now simply defined as the superposition of the linear long and the linear short rule with the same modulus of the respective parameters, i.e., (I^L(0)=-I^S(0)=:I_0^*>0) and (K^L=-K^S=:K>0) :

این بدان معناست که ، سرمایه گذاری اولیه طرف کوتاه (-i^*_ 0 ) است و پارامتر بازخورد آن (-k ) است. توجه داشته باشید که افزایش سمت طولانی (g^l ) و افزایش سمت کوتاه (g^s ) باید به طور جداگانه محاسبه شود ، یعنی معامله گر در واقع دو قانون بازخورد را همزمان انجام می دهد. نمودار جریان برای قانون SLS در شکل 1 آورده شده است.

نمودار جریان برای استاندارد کنترل کننده کوتاه به طور همزمان با ورودی (یا اختلال) بازده متغیر سرمایه گذاری ( frac

) resp. ( frac<mathrmp>

) and output variable gain (g^) . The SLS traders’ parameters are the feedback parameter (K>0) and the initial-investment parameter (I_0^*>0)

همانطور که در بالا ذکر شد ، اگر قیمت ها بالا بروند ، قانون طولانی خطی منجر به سود مثبت می شود و در صورت پایین آمدن قیمت ها (در حالت مداوم) ، قانون کوتاه خطی منجر به سود مثبت می شود. اگر یک استراتژی سودآور باشد اگر سود مورد انتظار آن مثبت باشد ، اگر روند قیمت مثبت باشد ، قانون طولانی خطی سودآور خواهد بود ، در حالی که قانون کوتاه خطی در صورت منفی بودن این روند سودآور خواهد بود. با این حال ، یک معامله گر با استفاده از یک استراتژی بدون مدل ، نه باید بداند و نه برای تخمین روند (یا علامت آن). به همین دلیل قانون SLS به عنوان فرض این دو قانون خطی تعریف می شود. دوباره توجه داشته باشید که دستاوردهای بلند و کوتاه باید به طور جداگانه محاسبه شود. در دوره صفر ، طرف طولانی (در تئوری) دارایی هایی را با مقدار (i_0^*) خریداری می کند و طرف کوتاه همان مقدار دارایی را به فروش می رساند ، یعنی می توان گفت که هیچ اتفاقی نمی افتد. پس از آن ، در هر دوره ، هر دو طرف دوباره k یا (-k ) را دوباره به دست می آورند ، یعنی معامله گر احتمالاً دارایی را خریداری یا می فروشد (نه تنها در تئوری). توجه داشته باشیم که (i_0^*) سرمایه گذاری اولیه قانون SLS نیست ، بلکه پارامتر به اصطلاح سرمایه گذاری اولیه است. این بدان معناست که ، سرمایه گذاری اولیه سمت طولانی (i_0^*) است و سرمایه گذاری اولیه طرف کوتاه (-i_0^*) است.

شهود این استراتژی سوء استفاده منظم از اثرات مرکب است زیرا سود حاصل از قیمت ها افزایش می یابد ، به عنوان مثال ، دو برابر 10 ٪ ، بالاتر از ضرر ناشی از قیمت هایی است که با همان نرخ ها کاهش می یابد. توجه داشته باشید که یافته های این مقاله مبتنی بر استراتژی های دو برابر شدن نیست (ر. ک: Karatzas و همکاران 1998) همانطور که برای رولت-از جمله اهرم (یعنی ، نسبت بین دارایی ها و عدالت) قانون SLS می تواند محدود شود (Primbsو Barmish 2012 ، 2017). نتایج این کار نیز براساس پارادوکس سن پترزبورگ نیست.

بررسی ادبیات در مورد عملکرد قوانین تجارت SLS

بررسی ادبیات زیر ایده ای در مورد اینکه چرا استراتژی SLS یک برنامه جالب است ، ارائه می دهد. Barmish (2011) نشان می دهد که برای قیمت های مداوم و غیر منفی به طور مداوم ، (P in<mathcal >^1) with (p(0)>0 ) آن را نگه می دارد

از آن پیروی می کند که (g^_<<mathcal >^1>(t) ge 0 ) برای کلیه فرآیندهای قیمت و (g^_<<mathcal >^1>(t)>0 ) هر زمان (p (t) in (0 ، infty) setminus < p(0)>)به عبارت دیگر ، این یک استراتژی داوری است. سود در زمان t مستقل از فرآیند قیمت است و فقط به ارزش p (t) در زمان t بستگی دارد. از آنجا که (<mathcal >^1 ) قیمت ها یک فرض نسبتاً سخت است ، Barmish و Primbs (2011 ، 2016) از یک فرآیند قیمت استفاده می کنند که توسط یک حرکت هندسی براونیان اداره می شود (GBM)

با روند ( mu in<mathbb >) , volatility (sigma >0 ) ، و یک فرآیند وینر ، یعنی یک حرکت براون ، w (t). توجه داشته باشید که GBM مدل قیمت مورد استفاده در مدل سیاه و سفید است. Barmish and Primbs (2011 ، 2016) نشان می دهد که استراتژی SLS دیگر یک استراتژی داوری نیست. با این حال ، برای سود مورد انتظار که دارد: